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定義一:對稱,指物體或圖形在某種變換條件(例如繞直線的旋轉、對於平面的反映,等等)下,其相同部分間有規律重複的現象,亦即在一定變換條件下的不變現象。
定義二:作爲哲學範疇的對稱是指宇宙的根本規律對立統一規律。同一性是宇宙的本質屬性,也是對立統一規律的本質屬性,所以作爲哲學“對稱”的對立統一規律不同於鬥爭性佔主導、作爲“矛盾”的對立統一規律。具體科學或日常生活中的對稱,包括對應、對等、平衡等均爲哲學“對稱”的具體內容。對稱邏輯、對稱經濟學的“對稱”屬於哲學範疇。
定義三:《對稱》是舉世聞名的大手筆小冊子,是作者大學退休前“唱出的一支天鵝曲”,它由普林斯頓大學出版社將外爾(,曾譯作魏爾或者凡爾)退休前的系列講座彙編而成書。據說許多百科全書的“對稱”條目都將外爾的這部小書列爲主要參考文獻。
定義四:在日常生活中和在藝術作品中,“對稱”有更多的含義,常代表着某種平衡、比例和諧之意,而這又與優美、莊重聯繫在一起。外爾的書首先用一章講鏡像對稱,涉及手性諸問題,有十分豐富的內容。
2001年諾貝爾化學獎獎勵的課題主要是“手性分子催化”問題。如今,手性藥物在藥品市場佔有相當的份額,有機分子手性對稱性已經是相當實用和熱門的話題。這裏面仍然遺留下許多基本的問題沒有解答,比如生命基本物質中的氨基酸、核酸的高度一致性的手性(即手性對稱破缺)是如何起源的?植物莖蔓的手性纏繞是由什麼決定的?同種植物是否可能具有不同的手性? 左右對稱在建築藝術中有大量應用,但是人們也注意到完全的左右對稱也許顯得太死板,建築設計者常用某種巧妙的辦法打破嚴格的左右對稱,如通過園林綠化或者通過立面前的雕塑或者廣場非對稱佈局,有意打破嚴格的對稱。通常,嚴格左右對稱的建築,都儘可能放在了具有非對稱的周圍環境之中。 公衆可能較感興趣的是作者對摩爾文化、埃及和中國實際裝飾藝術品中對稱性的分析。在二維裝飾圖案中,總共有17種本質上不同的對稱性。作者說,在古代的裝飾圖案中,尤其是古埃及的裝飾物中,能夠找到所有17種對稱性圖案。到了19世紀,有了變換羣的概念以後,人們才從理論上搞明白只有17種可能性(波利亞的證明),而古人確實窮盡了所有這些可能。外爾有一句話特別值得注意:“雖然阿拉伯人對數字5進行了長期的摸索,但是他們當然不能在任何一個有雙重無限關聯的裝飾設計中,真正嵌入一個五重中心對稱的圖案。然而,他們嘗試了各種容易讓人上當的折衷方案。我們可以這樣說,他們通過實踐證明了在飾物中使用五邊形是不可能的。”
這一論述非常關鍵,阿拉伯裝飾藝術的確時常費力地嘗試使用五次旋轉對稱。連續裝飾圖案中嵌入五次對稱圖元的麻煩之處在於,五次對稱要涉及黃金分割,安排下一個五邊形,則周圍需要作複雜的調整,這要比安排三角形、四邊形和六邊形的情況複雜得多。《對稱》還用相當篇幅講晶體點陣的對稱性,我當年學過結晶學和礦物學,知道這是相當複雜的事情,現依稀記得32種對稱型,146種結晶單形,42種幾何單形和230種空間羣的數字,具體內容已經想不清楚了。外爾的處理當然並非想具體展示各種可能的晶格對稱性,書中討論得相當簡略,這也給普通諸者閱讀造成了困難。要想真正搞明白230種空間羣,還真要讀地質學的圖書《結晶學與礦物學》。
手抄報二:對稱的案例守恆律與對稱性的聯繫
可以肯定的是,楊振寧1962年出版的《原子物理中某些發現的小史》(中譯本爲《基本粒子發現簡史》,上海科學技術出版社1963年出版)引用過(譯名爲凡爾),楊先生引的那句話“不對稱很少僅僅由於對稱的不存在”,已成爲深刻的哲理名言。我寫《分形藝術》時,也裝潢門面,把外爾和楊先生的話一併引了。在自然科學和數學上,對稱意味着某種變換下的不變性,即“組元的構形在其自同構變換羣作用下所具有的不變性”,通常的形式有鏡像對稱(左右對稱或者叫雙側對稱)、平移對稱、轉動對稱和伸縮對稱等。物理學中守恆律都與某種對稱性相聯繫。
生物形態的對稱
一般指圖形和形態被點、線或平面區分爲相等的部分而言。在生物形態上主要的對稱分爲下列各種:(1)輻射對稱:與身體主軸成直角且互爲等角的幾個軸(輻射軸)均相等,如果通過輻射軸把含有主軸的身體切開時,則常可把身體分爲顯鏡像關係的兩個部分。例如海星可見有五個輻射軸。另外在高等植物的莖和花等,也常具有輻射對稱的結構;
(2)雙輻射對稱:只有兩個輻射軸,彼此互成直角,形式上可以把它看成是從輻射對稱向左右對稱的過渡型(例如櫛水母);
(3)左右對稱:或稱兩側對稱,是僅通過一個平面(正中矢面)將身體分爲互相顯鏡像關係的兩個部分(例如脊椎動物的外形)。在正中矢面內由身體前端至後端的軸稱爲頭尾軸或縱軸,這個軸與身體長軸大都一致。在正中矢面內與頭尾軸成直角並通過背腹的軸爲背腹軸或矢狀軸。還有與正中矢面成直角的軸稱正中側面軸(或內外軸)、該軸夾着正中矢面,彼此相等且具有方向相反的極性,如果將兩側的正中側面軸合起來看成爲一軸時,則稱爲橫軸。在輻射對稱中,如相當於海星的一根足的同型部分,稱爲副節(paramere),副節其本身成兩側對稱。一般兩側對稱的每一半爲與同一軸相關而極向相反的同型部分,此稱爲對節或體輻。副節、對節等的同型部分,一般來看,僅相互方向不同,可認爲這是與對外界的關係相同有着密切的聯繫。所以在個體發生或系統發生過程中其生活方式變化時,而與之相關的對稱類型也時有變化。例如棘皮動物在自由運動的幼體期具有左右對稱的體制,在接近靜止生活的成體,則顯有輻射對稱的體制。再如比目魚等左右體側可成爲二次的背腹關係。把無對稱的關係稱爲非對稱(asymetry),其中具有規則形態的在生物界可廣泛見到的有螺旋性。此外還有即使外形上表現對稱,但與外界無直接關係的內臟,基本既可表現爲對稱的,也有不少由於形態變形而表現爲不對稱的。
中心對稱
把一個圖形繞着某一點旋轉180°,如果它能與另一個圖形重合,那麼就說這兩個圖形關於這個點對稱或中心對稱(central symmetry),這個點叫做對稱中心,這兩個圖形的對應點叫做關於中心的對稱點。
中心對稱和中心對稱圖形是兩個不同而又緊密聯繫的概念.它們的區別是:中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關係,這兩個圖形關於一點對稱,這個點是對稱中心,兩個圖形關於點的對稱也叫做中心對稱.成中心對稱的兩個圖形中,其中一個上所有點關於對稱中心的對稱點都在另一個圖形上,反之,另一個圖形上所有點的對稱點,又都在這個圖形上;而中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱.中心對稱圖形上所有點關於對稱中心的對稱點都在這個圖形本身上.如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體(一個圖形),那麼這個圖形就是中心對稱圖形;一箇中心對稱圖形,如果把對稱的部分看成是兩個圖形,那麼它們又是關於中心對稱.
也就是說:
① 中心對稱圖形:如果把一個圖形繞着某一點旋轉180度後能與自身重合,那麼我們就說,這個圖形成中心對稱圖形。
②中心對稱:如果把一個圖形繞着某一點旋轉180度後能與另一個圖形重合,那麼我們就說,這兩個圖形成中心對稱。
中心對稱圖形
正(2N)邊形(N爲大於1的正整數)、線段、圓、平行四邊形、直線等。
實際上,除了直線外,所有中心對稱圖形都只有一個對稱點。
既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形:不等腰三角形,直角梯形,普通四邊形
中心對稱的性質
①關於中心對稱的兩個圖形是全等形。
②關於中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經過對稱中心,並且被對稱中心平分。
③關於中心對稱的兩個圖形,對應線段平行(或者在同一直線上)且相等。
識別一個圖形是否是中心對稱圖形就是看是否存在一點,使圖形繞着這個點旋轉180°後能與原圖形重合。
中心對稱是指兩個圖形繞某一個點旋轉180°後,能夠完全重合,稱這兩個圖形關於該點對稱,該點稱爲對稱中心。二者相輔相成,兩圖形成中心對稱,必有對稱中點,而點只有能使兩個圖形旋轉180°後完全重合才稱爲對稱中點。
科學與藝術
科學和藝術都很重視對稱性。對於科學,對稱性決定了各種可能的守恆定律,因而具有更根本性的意義。在藝術中,對稱性常與平衡、形狀、形式、空間等一同討論。人們通常從靜態表現上理解對稱性,有一定意義,但更重要的是從操作意義上、從生成過程上理解對稱性。
一
在科學中,對稱性是指某種操作下的不變性或者守恆性,對稱性常與守恆定律相聯繫。與空間平移不變性對應的是動量守恆定律;與時間平移不變性對應的是能量守恆定律;與轉動變換不變性對應的是角動量守恆;與空間反射(鏡像)操作不變性對應的是宇稱守恆。在弱相互作用中,“宇稱”不守恆,自然界在C或P下不是對稱的,在CP下也不是對稱的,但卻是CPT對稱的。這裏C表示電荷變號操作,相當於反轉變換,如由底片洗出照片,電子變正電子,物質變反物質;P表示鏡像反射操作,如人照鏡子;T表示時間反演操作,如微觀可逆過程。也就是說,當同時把粒子與反粒子互變(C)、左與右互變(P)、過去與未來互變(T),自然界又是對稱的。
但把物質的宇稱、超荷、同位旋等所有物理性質都加起來考慮,會發現它們總體上並不守恆,即對稱性有破缺。人們假設,這是隻考慮“物質”的結果,如果把“真空”也算在內,就有可能找回“失去的對稱性”,總體上這世界仍然是對稱的、守恆的。問題是科學家對真空的瞭解還不夠多。爲什麼CP不守恆,而CPT就守恆?CPT守恆意味着什麼?CPT真的永遠守恆嗎?這都是些非常重要而艱難的問題,還有很大一部分需要科學家進一步研究來解答。
對稱性是第一世界固有的,還是第二世界強加於其上的?是自然界的屬性,還是自然科學中物理定律的屬性?或者問,對稱性是客觀的,還是主觀的?一種簡便的而肯定的回答是,對稱性是客觀的、自然世界固有的屬性。這也是過去流行的觀點,但此觀點對於解決問題並不比相反的觀點更具有優勢。如果把認識世界視爲一個複雜的、不斷進步的過程,理解對稱性也要放在一個過程之中進行,在此認識系統中,“屬性”的詞彙是不恰當。如果仍然保留“屬性”一詞,它也只能指對象在某種條件下表現出來的功能,這也可以稱作“條件主義”科學哲學。條件也即約束,可對應於某種操作,標示某種認識層次。對稱性原理均根植於“不可觀測量”的理論假設上;不可觀測就意味着對稱性,任何不對稱性的發現必定意味着存在某種可觀測量。(李政道)那麼“不可觀測”是不是由於我們認識能力而導致的一種假相呢?
李政道說:“這些‘不可觀測量’中,有一些只是由於我們測量能力的限制。當我們的實驗技術得到改進時,我們的觀測範圍自然要擴大。因而,完全有可能到某種時候,我們能夠探測到某個假設的‘不可觀測量’,而這正是對稱破壞的根源。然而,當確實發生這樣的破壞時,一個更深入的問題是,我們怎麼能夠確信這不是意味着世界不對稱呢?是否有可能,自然界基本規律仍然是對稱的?是自然規律不對稱,還是世界不對稱?這兩種觀點究竟有什麼區別呢?”此論述概括了理論物理學的認識過程,更涉及一些基本的哲學問題。
二
當年數學家魏爾(H.Weyl)在討論藝術作品中的對稱性時,提到西方藝術像其生活一樣,傾向於緩解、放寬、修正,甚至打破嚴格的對稱性,接着有一名句:“但是不對稱很少是僅僅由於對稱的不存在。”(《對稱》,商務1986,第11頁)楊振寧引用了魏爾的話,並加上一句評論:“這句話有物理學中似乎也是正確的。”(《基本粒子發現簡史》,上海科技1979,第58頁)我們則又加一句,無論對於科學還是藝術,“同樣,找到對稱也絕對不是僅僅由於非對稱的不存在。”
科學和藝術都是講究對稱性的,對稱性意味着某種規則,很難想象像科學與藝術如此宏大而不斷積累的人類文明會沒有規則,雜亂無章。那麼是否可以推論出,科學與藝術只關注規則、對稱性,並且只有對稱的東西才稱得上科學與藝術呢?答案是否定的。李政道1996年5月23日在中央工藝美術學院的演講中曾指出:“藝術與科學,都是對稱與不對稱的巧妙組合。”這無疑是正確的。對稱是美,不對稱也是美,準確說,對稱與對稱破缺的某種組合纔是美。“單純對稱和單純不對稱都是單調。一個對稱的建築只有放在不對稱的環境空間中才顯得美,反之亦然。”
無論對於科學還是對於藝術,對稱性都涉及不同的方面和不同的層次。不同方面指對稱的多樣性:平移對稱(連續裝飾花紋、花布)、旋轉對稱(穹窿、五角星、傘、晶體)、左右對稱性(建築立面、人體)及聯合操作對稱性(埃舍爾的《騎士圖》,類似CP操作)。不同方面還涉及局部與整體的關係,對稱性有長程整體對稱(如晶體),也有局部短程對稱(如準晶、凱爾特裝飾藝術),這些在科學與藝術作品中都有許多實例。不同層次指對稱性依賴於物質層次或者觀念層次,在不同的層次上對稱性可以很不相同,以人體爲例,外表是左右對稱的,但內臟則不是,心臟通常靠近左側,腎等還是對稱的。凱爾特藝術(Celticart)有很強的規則性,可以明顯地發現少數基本結構在不同的層次上重複出現,不同層次的對稱性與對稱性破缺相互照應,細節豐富、層次分明,給予人以較強的裝飾效果。可以肯定地說,凱爾特藝術有意識地利用了伸縮變換不變性,即標度變換下的不變性,也就是自相似對稱性。特別有趣的是,在分形科學與藝術中,能夠觀察到各種對稱性,既有不同方面的也有不同層次的,通過複函數計算機迭代,非常容易地展示這些對稱性。
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